Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=ca_n-1+2ⁿ（n≥2，c是大于0的常数），且a₃=13．
（1）求c的值；   
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=1，a_n=ca_n-1+2ⁿ，代入计算，根据a₃=13，可求c的值；   
（2）利用叠加法，可求{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n=ca_n-1+2ⁿ，
∴a₂=ca₁+4=c+4，
∴a₃=ca₂+8=c²+4c+8
∵a₃=13，
∴c²+4c+8=13
∴c²+4c-5=0
∵c＞0，∴c=1；
（2）由（1）知a_n=a_n-1+2ⁿ，
∴a_n-a_n-1=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2²+2³+…+2ⁿ=-1+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-3．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于中档题．