Question

设函数．
（1）若函数f（x）为奇函数，求b的值；
（2）在（1）的条件下，若a=-3，函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-2，2]，求f（x）的零点；
（3）若不等式axf'（x）≤f（x）+1恒成立，求a+b+c的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），解得b=0．
（2）由（1）可知f（x）=-x³+cx，∴f′（x）=-3x²+c．
①若c≤0，则f′（x）≤0恒成立，则f（x）单调递减，
又函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-2，2]，∴，此方程无解．
②若c＞0，则
（ⅰ）若，即c＞12时，函数f（x）在[-2，2]上单调递增，∴，此方程组无解；
（ⅱ）时，即3≤c≤12时，∴，所以c=3；
（ⅲ）时，即c＜3时，∴，此方程组无解．
综上可得c=3，∴f（x）=-x³+3x的零点为：．
（3）由题设得恒成立．
记，
若，则三次函数F（x）至少有一个零点x₀，且在x₀左右两侧异号，
所以原不等式不能恒成立；
所以，∴，此时恒成立等价于：1⁰．b=c=0或者2⁰.
在1⁰中
在2⁰中，所以c²≤3t-3c-1?3t≥c²+3c+1，∴
综上a+b+c的取值范围是．                        …
分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），解之可得b=0；
（2）可得f（x）=-x³+cx，f′（x）=-3x²+c，结合导数的正负对函数单调性的影响，分c≤0，和c＞0，两类进行讨论可得答案；
（3）推理可得，∴，此时恒成立等价于：1⁰．b=c=0或者2⁰.，分别求解a+b+c的取值范围，综合可得．
点评：本题考查函数的奇偶性，和函数的恒成立问题，属中档题．