Question

【题目】已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为 （φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且 ，求α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的参数方程为 （φ为参数）．cos2φ+sin2φ=1，可得：

故得曲线C的普通方程为 ．

直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα

ρsinαcosθ﹣ρsinθcosα=sinα

（x﹣1）sinα=ycosα

y=xtanα﹣tanα．

故得直线l的直角坐标方程为y=xtanα﹣tanα．

（2）解：由题意，可得直线l的参数方程 带入曲线C的普通方程可得：（3sin2α+1）+2cosαt﹣3=0，

可得： ， ．

由 ，

可得：| |=| |= ，

即 =| |，

解得：|cosα|= ，

∴α= 或

【解析】（1）消去曲线C中的参数，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直线l的直角坐标方程．（2）利用参数方程的几何意义，求解．