Question

设函数f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
（Ⅰ）求f（x）的对称中心及单调递减区间；
（Ⅱ） 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，a=1，c=

3

，求b的值及△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的对称中心为kπ（k∈Z）得到此函数的对称中心，由正弦函数的递减区间即可得到f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由f（A）=1及第一问确定的函数解析式，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sinA与cosA的值，由cosA，a，c的值，利用余弦定理求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin（x-

π

6

）+1，
令x-

π

6

=kπ，k∈Z，解得：x=kπ+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（kπ+

π

6

，1）k∈Z，
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得：2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，k∈Z，
则函数的单调递减区间为[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（A）=sin（A-

π

6

）+1=1，
∴sin（A-

π

6

）=0，
∴A-

π

6

=0，即A=

π

6

，
又a=1，c=

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：1=b²+3-3b，
解得：b=1或b=2，
当b=1时，S=

1

2

bcsinA=

3

4

；当b=2时，S=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，正弦函数的单调性，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．