Question

(1)12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?

(2)12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种?

(3)12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种?

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“｜”看作隔板，则如图00｜0000｜0000｜00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放人2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有种． 答：每盒至少有一个小球，有165种不同放法． (2)因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型．将三块隔板与12个球排成一排，则如图000｜｜00000｜0000中隔板将这一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法．排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有个选法即排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有种，即球的放法有=455（种）． 答：允许空盒，有455种不同的放法． (3)解法一：用(1)的处理问题的方法．将1个，2个，3个小球分别放在编号为2，3，4的盒子中，将余下的6个小球分别放在四个盒子中，每个盒子至少一个小球，就确定了一种放法．将三块隔板放在6个小球的间隔中，有＝10种插法，所以不同的放法总数等于余下的6个小球分别放入四个盒子(每盒至少1个)的不同放法总数为10种． 解法二：用(2)的处理问题的方法． 将1个，2个，3个，4个小球分别放在编号为1，2，3，4的盒子中，将余下的2个小球分别放在四个盒子中，每盒允许空盒，就确定了一种放法．将三块隔板加上2个小球排成一列，有种排列，即有种放法．所以不同的放法总数等于余下的2个小球分别放人四个盒子(允许空盒)的不同放法总数为10种． 答：放球数不小于编号数的放法总数为10种． 点评：这是一道有限制条件的“相异元素允许重复的组合”问题，上一道例题是一个有限制条件的“相异元素允许重复的排列”问题，它们的相同之处是“相异元素允许重复地选取”，不同之处是选取后一个是无序的组合，一个是有序的排列．尽管它们有着本质的区别，但类比于上述例题的数学模型，本例我们也可以建立相应的数学模型来处理．