Question

【题目】在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，定点 点为的中点，动点满足.

（1）求点的轨迹的方程

（2）过点的直线交轨迹于两点，为上任意一点，直线交于两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？ 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）以 为直径的圆过 轴上的定点

【解析】分析：（1）根据条件可得点的轨迹是以为焦点、以直线为准线的抛物线，其方程为．（2）假设以为直径的圆过轴上的定点, 设 .由题意可得，，由得．设直线的方程为，与抛物线方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系和上式可得，解得，进而可得以 为直径的圆过 轴上的定点．

详解：（1）由已知得垂直平分，故

又轴，

则，

所以点到点的距离和到直线的距离相等，

故点的轨迹是以为焦点、以直线为准线的抛物线，

由条件可得轨迹的方程为．

（2）假设以为直径的圆过轴上的定点 ．

设 ,

则 ，

直线 的方程为 ，

令得 即．

同理可得.

由已知得 恒成立,即，

即．

设直线的方程为 ，

由消去整理得，

所以，

于是，

整理得，

解得 ．

故以 为直径的圆过 轴上的定点．