Question

设函数f(x)=

3

sin(x+

2

3

π)+2sin2

x

2

，x∈R．
（1）求f（x）的值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若f(B)=

1

2

，b=

7

，c=3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的余弦公式、半角公式化简函数f（x）的解析式为cos（x+

π

3

）+1，由此求得它的值域．
（2）△ABC中，若f(B)=

1

2

，b=

7

，c=3，则得 B=

π

3

．由余弦定理可求得a的值．

解答：解：（1）函数 f(x)=

3

sin(x+

2

3

π)+2sin2

x

2

=

3

sinxcos

2π

3

+

3

cosxsin

2π

3

+2×

1-cosx

2

=

1

2

cosx-

3

2

sinx=cos（x+

π

3

）+1，
由于 cos（x+

π

3

）∈[-1，1]，∴cos（x+

π

3

）+1∈[0，2]，
故函数的值域为[0，2]．
（2）△ABC中，若f(B)=

1

2

，b=

7

，c=3，则得 cos（B+

π

3

）=-

1

2

，故 B=

π

3

．
由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB，化简可得a²-3a+2=0，解得a=1，或a=2．

点评：本题主要考查两角和差的余弦公式、半角公式的应用，余弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．