Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与椭圆C交于两点A，B，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，

4

a2

=1，
所以a=2，c=

3

，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；．
（Ⅱ）联立

x2 4 +y2=1 y=x+m

，
消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，△=64m²-80（m²-1）=-16m²+80，
令△＞0，即-16m²+80＞0，解得-

5

＜m＜

5

．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）当∠AOB为直角时，
则x1+x2=-

8

5

m，x1x2=

4m2-4

5

，
因为∠AOB为直角，所以

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
所以

8m2-8

5

-

8

5

m2+m2=0，解得m=±

2

5

10

．
（ⅱ）当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，
由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为-1，
所以

y1

x1

=-1，即y₁=-x₁，
又

x 21

4

+

y

21

=1；，
所以

5

4

x

21

=1；，x1=±

2

5

5

，m=y1-x1=-2x1=±

4

5

5

，
经检验，所求m值均符合题意，综上，m的值为±

2

5

10

和±

4

5

5

．