Question

有一数列{a_n}，a₁=a，由递推公式a_n+1=

2an

1+an

，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．

Answer 1

分析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a_n与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式．

解答：解：∵a₁=a，a_n+1=

2an

1+an

，∴a₂=

2a

1+a

，
a₃=

2a2

1+a2

=

4a 1+a

1+ 2a 1+a

=

4a

1+3a

，
a₄=

2a3

1+a3

=

8a 1+3a

1+ 4a 1+3a

=

8a

1+7a

．
观察规律：a_n=

xa

1+ya

形式，其中x与n的关系可由n=1，2，3，4得出x=2^n-1．而y比x小1，
∴a_n=

2n-1a

1+(2n-1-1)a

．

点评：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视．