题目内容
已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求
·
的最小值．
解：（Ⅰ）设动点P的坐标为(x，y)，由题意有
－|x|＝1，
化简，得y2＝2x＋2|x|．
当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0．
∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x（x≥0）和y＝0（x＜0）．………………5分
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是
x1＋x2＝2＋
，x1x2＝1．
∵l1⊥l2，∴l2的斜率为－
．
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1．
故·＝(
＋
)·(
＋
)＝·＋·＋·＋·
＝||||＋||||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4(k2＋
)≥8＋4×2
＝16．
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16．………………………13分
练习册系列答案
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轴的距离少1.
于
点，且
,
,
的值。