Question

已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·=t (t≠0且t≠－1).

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F₁，F₂，若曲线C上存在点Q使得∠F₁QF₂=120^O，

求t的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）+=1（x≠2）

（2）

【解析】(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty²=t(x²－4)+=1

轨迹C的方程为+=1（x≠2）.

(2)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，

设=r₁，= r₂, 则r₁+ r₂=2a=4.

在△F₁PF₂中，=2c=4,

∵∠F₁PF₂=120^°，由余弦定理，

得4c²=r+r－2r₁r₂= r+r+ r₁r₂

= (r₁+r₂)²－r₁r₂≥(r₁+r₂)²－()²=3a², ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.

所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F₁QF₂=120^°

当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，

设=r₁，= r₂，则r₁+r₂=2a=－4 t,

在△F₁PF₂中， =2c=4.

∵∠F₁PF₂=120^O，由余弦定理，

得4c²=r+r－2r₁r₂= r+r+ r₁r₂

= (r₁+r₂)²－r₁r₂≥(r₁+r₂)²－()²=3a², ∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.

所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F₁QF₂=120^O

综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120^O的t的取值范围是

．