Question

设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数，.
（1）求的单调区间和最小值；
（2）讨论与的大小关系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g（x）﹣g（x₀）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）g（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），最小值为；（2）当0＜x＜1时，；当x＞1时，；（3）满足条件的x₀不存在．证明详见解析.

试题分析：（1）由题设得，求导，根据导数的符号即可确定g（x）的单调区间，进而求出其最小值；（2）为了确定与的大小关系，便作差判断其符号.设，则，因此在内单调递减.接下来就确定函数的零点.易知h（1）=0，即；所以当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即；（3）根据（1）题的结果可作出的大致图象；再作出的图象，结合图象可看出，不论取多少，当的值充分大时，必有，所以满足条件的x₀不存在．接下来就是想方设法找出一个，使得.为了更容易地找出这样的，我们将变形为，对左边的不等式，易看出当时便不成立.从而问题得证.
试题解析：（1）由题设易知，
∴，令，得，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），
因此是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
∴最小值为；
（2），
设，
则，
当x=1时，h（1）=0，即，
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，
因此，h（x）在内单调递减，
当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即，
当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即，
（3）满足条件的x₀不存在．证明如下：假设存在x₀＞0，
使成立，即对任意x＞0，
有，（*）
但对上述x₀，取时，
有，这与（*）左边不等式矛盾，
因此，不存在x₀＞0，使成立．