题目内容

已知
a
、
b
是非零向量，且(
a
+3
b
)⊥(7
a
-5
b
)，(
a
-4
b
)⊥(7
a
-2
b
)，求
a
与
b
夹角．
分析：由已知，得出即：
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0   ①
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0      ②
①-②得出
b
2=2
a
•
b
，
a
2=2
a
•
b
，所以|
a|
=|
b
|．再利用向量数量积公式求夹角．
解答：解：由已知，
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0
即：
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0   ①
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0      ②

两式相减并化简得出
b
2=2
a
•
b
，再代入①，得出
a
2=2
a
•
b
，所以|
a|
=|
b
|
a
与
b
夹角θ满足cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
a
2
a
2
=
1
2
所以θ=
π
3
点评：本题考查向量夹角的计算，关键是得出|
a|
=|
b
|．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
，
b
是非零向量，满足
a
=λ
b
，
b
=λ
a
（λ∈R），则λ=（　　）
A、-1B、±1C、0D、0
已知
a
，
b
是非零向量，且
a
，
b
夹角为
π
3
，则向量
p
=
a
丨
a
丨
+
b
丨
b
丨
的模为
3
3
．
已知
a
，
b
是非零向量，且满足（
a
-2
b
）⊥
a
，（
b
-2
a
）⊥
b
，则
a
与
b
的夹角是
60
60
°．
已知
a
，
b
是非零向量，t为实数，设
u
=
a
+
tb
．
（1）当|
u
|取最小值时，求实数t的值；
（2）当|
u
|取最小值时，求证
b
⊥（
a
+
b
）．
已知
a
、
b
是非零向量，若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，则
a
，
b
应满足条件
 
．

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