题目内容

已知
a
，
b
是非零向量，t为实数，设
u
=
a
+
tb
．
（1）当|
u
|取最小值时，求实数t的值；
（2）当|
u
|取最小值时，求证
b
⊥（
a
+
b
）．
分析：（1）要求|
u
|取最小值，我们可以根据
u
=
a
+
tb
，计算|
u
|2，然后构造一个关于t的函数，利用二次函数求最值的办法，进行求解．
（2）要求证
b
⊥（
a
+
b
），可根据向量垂直的充条条件，判断
b
•（
a
+
b
）=0．
解答：解：（1）解：|
u
|2=
a
2+2
a
•
b
t+（t2）
b
2
=|
b
|2t2+2
a
•
b
t+|
a
|2
当|
u
|2有最小值时，
|
u
|有最小值．
设f（t）=（
b
t）2+2
a
•
b
t+
a
2，
f'（t）=2
b
2t+2
a
b
=0时，
|
u
|有最小值
此时t=-
a
•
b
|
b
|2

（2）证明：∵
b
•（
a
+t
b
）
=
a
•
b
+（-
a
•
b
|
b
|2
•
b
2）
=
a
•
b
-
a
•
b

=0
∴
b
与
a
+t
b
垂直．
点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
，
b
是非零向量，满足
a
=λ
b
，
b
=λ
a
（λ∈R），则λ=（　　）
A、-1B、±1C、0D、0
已知
a
，
b
是非零向量，且
a
，
b
夹角为
π
3
，则向量
p
=
a
丨
a
丨
+
b
丨
b
丨
的模为
3
3
．
已知
a
，
b
是非零向量，且满足（
a
-2
b
）⊥
a
，（
b
-2
a
）⊥
b
，则
a
与
b
的夹角是
60
60
°．
已知
a
、
b
是非零向量，若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，则
a
，
b
应满足条件
 
．

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