Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记．
（I）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_n≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）记c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题中给的a_n=5S_n+1，继而可得a_n-1=5s_n-1+1，两式子相减得，a_n-a_n-1=5a_n，因此，因而可得出a_n，b_n的通项公式．
（2）根据b_n的通项公式，算出的前n项和为R_n，再计算出是否存在正整数k．
（3）根据b_n的通项公式，计算出c_n的通项公式，再比较T_n与的大小．
解答：解：（ I）当n=1时，a₁=5S₁+1，∴
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1∴
∴数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，
∴，
（ II）不存在正整数k，使得R_n≥4k成立．
证明：由（I）知
∵．
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m=4n
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴对于一切的正整数n，都有R_n＜4k
∴不存在正整数k，使得R_n≥4k成立．
（III）由得
又，∴，当n=1时，，
当n≥2时，

．
点评：此题主要考查数列递推式的求解及相关计算．