Question

如图,四棱锥S—ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的一点,

(1)求证:平面EBD⊥平面SAC;

(2)若SA=2,AB=4,求点A到平面SBD的距离;

(3)当的值为多少时,二面角B-SC-D的大小为120°?并给出证明.

Answer 1

(1)证明:如图所示,SA⊥面ABCD则SA⊥BD,又AC⊥BD,则BD⊥面SAC,而DB面EBD,由面面垂直的判定定理得证.

(2)解:易证面SAO⊥面SBD,过点A在面SAO内作AG⊥SO,如图所示AG即为所求,易求OS=,由等面积法得.

(3)解:当时,二面角B-SC-D的大小为120°.证明如下:

由条件知二面角BSCD的大小为120°,则过点B作BH⊥SC垂足为H,连结DH,易证∠BHD为二面角BSCD的平面角,且∠EBD为等腰三角形,则∠ABD=∠HDB=30°,OH⊥BD.

由条件易证BC⊥面SAB,则∠SBC=90°.

设AB=a,SA=b,可求得OB=a,.

∵cos30°=,化简得,平方得3(a²+b²)=2(2a²+b²)=4a²+2b²,即a=b,∴当时,二面角B-SC-D的大小为120°.