Question

已知曲线f（x）=alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，且x=

2

3

是y=f（x）的极值点，则a-b=

10

．

Answer 1

分析：求函数的导数，利用在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，得到f'（1）=-2，利用x=

2

3

是y=f（x）的极值点，得到f′(

2

3

)=0，从而确定a，b的数值．

解答：解：因为f（x）=alnx+bx+1的定义域为（0，+∞），所以f′(x)=

a

x

+b，
因为f（x）=alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，
所以f'（1）=-2，即f'（1）=a+b=-2   ①
因为x=

2

3

是y=f（x）的极值点，所以f′(

2

3

)=0，即f′(

2

3

)=

3

2

a+b=0  ②
两式联立解得a=4，b=-6，
所以a-b=4-（-6）=10．
故答案为：10．

点评：本题主要考查函数导数的几何意义，以及函数极值和导数之间的关系，要求熟练掌握导数与函数的单调性，极值和最值之间的关系．