Question

在平面直角坐标系中，已知A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，若实数λ使得λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

（O为坐标原点）
（1）求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
（2）当λ=

2

2

时，若过点B（0，2）的直线l与（1）中P点的轨迹交于不同的两点E，F（E在B，F之间），试求△OBE与OBF面积之比的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知点的坐标，分别表示出

OM

，

ON

，

A1P

，

A2P

代入λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

中即可求得x和y的关系式，根据λ的值的不同判断出方程表示的不同轨迹．
（2）把λ代入（1）中求得轨迹方程，可知其轨迹为椭圆，进而分别表示出△OBE和△OBF的面积，设出EF的直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁•x₂代入

(x1+x2)2

x1•x2

中根据k的范围确定

x1

x2

，进而求得两三角形面积之比．

解答：解：（1）

OM

=(x，1)，

ON

=(x，-2)，

A1P

=(x+

2

，y)，

A2P

=(x-

2

，y)
∵λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

∴（x²-2）λ²=x²-2+y²化简得：（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²）
①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线
②λ=0时方程为x²+y²=2轨迹为圆
③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为

x2

2

+

y2

2(1-λ2)

=1轨迹为椭圆
④．λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为

x2

2

-

y2

2(λ2-1)

=1轨迹为双曲线
（2）∵λ=

2

2

，∴P点轨迹方程为

x2

2

+y2=1，
∴S△OBE=

1

2

×2×|x1|，S△OBF=

1

2

×2×|x2|
∴S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0．
∴△=64k2-24-48k2＞0，∴k2＞

3

2

.x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1•x2=

6

1+2k2

，
∴

(x1+x2)2

x1•x2

=

64k2

6(1+2k2)

=

x1

x2

+

x2

x1

+2，∵k2＞

3

2

，∴

64k2

6(1+2k2)

∈(4，

16

3

)
∴

x1

x2

∈(

1

3

，1)∪(1，3)
由题意可知：S_△OBE＜S_△OBF，所以

S△OBE

S△OBF

∈(

1

3

，1)．

点评：本题主要考查了轨迹方程，直线与椭圆的关系．考查了学生综合分析问题的能力．