Question

(08年莆田四中一模理)(12分)

在中，已知，，两边所在

的直线分别与轴交于两点，且＝4．

（1）求点的轨迹方程；

（2）若，

①试确定点的坐标；

②设是点的轨迹上的动点，猜想的周长最大时点的位置，并证明你的猜想．

Answer 1

解析：（1）如图，设点，，，由三点共线，，＝．-------- 2分

同理，由三点共线可得：＝．----------- 3分

∵＝4，∴?＝＝4．化简，

得点C的轨迹方程为（x≠0）．-------5分

（2）若，

①设F（，0），C（），

∴（）＝－8（）．

∴＝，＝．

代入， 得＝±．∴（±，0），即为椭圆的焦点．---8分

②猜想：取（，0），设（－，0）是左焦点，则当点位于直线与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．------- 10分

证明如下：||＋||＝4－||＋||≤4＋||，

∴周长≤4＋||＋||≤8．---------------12分