Question

(08年莆田四中一模理)（12分）

如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，是上一点.已知= ，，=

  （1）求证，⊥平面；

  （2）求二面角的大小.

 

Answer 1

解析：方法一：（1）在Rt△ADE中，AE=AD?tan

       -----2分

    在Rt△ADE和Rt△EBC中，

    ∴Rt△DAE∽Rt△EBC

    ∴∠ADE=∠EBC=  又∠AED= 

    ∴∠DEC=90°即DE⊥EC

    又∵PD⊥平面ABCD   ∴PD⊥CE

    ∴CE⊥平面PED    ---------   6分

 

（2）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交于PC于H，连结EH.

因PD⊥底面ABCD，所以PD⊥EG.   从而EG⊥平面PCD.

∵GH⊥PC，由三垂线定理得EH⊥PC

∴∠EHG为二面角E―PC―D的平面角   ---------10分

在△PDC中，PD=，CD=2，GC=

由△PDC∽△GHC得GH=PD       又EG=AD=

∴在Rt△EHG中，GH=EG.  ∴∠EHG=   ------12分

方法二：

（1）       以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

由已知可得

D（0，0，0），P（0，0，），C（0，2，0），A（，0，0）

B（ --------------2分

    -----4分

    即CE⊥DE，CE⊥DP   ∴CE⊥平面PED  （6分）

（2）设平面PEC的法向量n（x，y，z）   ------6分

则由    得

   令，则）--10分

∵AD⊥平面PDC    ∴即为平面PDC的法向量

         即二面角E―PC―D的大小为.   ----12分