Question

已知函数（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数ϕ（x）=f（x）-g（x）在定义域上的最小值；
（Ⅱ）若方程e^2f（x）=g（x）在区间上有解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若数列{a_n}的通项公式为，它的前n项和为S_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）我们易求出当a=1时，函数φ（x）的解析式及其导函数的解析式，利用导数法，判断出函数的单调性，从而求得最小值；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=g（x）在区间[，1]上有解，可转化为方程a=x-x³在区间[，1]上有解，构造函数h（x）利用导数法求出函数的值域，即可得到实数a的取值范围；
（Ⅲ）利用放缩法及裂项法，我们可以求出a_k＞+（），在进行求和，从而进行证明；
解答：解：（Ⅰ）a=1，代入g（x），定义域{x|x＞0}
可得ϕ（x）=f（x）-g（x）=lnx+-1，（x＞0），
ϕ′（x）=，
当x≥1时，f（x）≥0，f（x）为增函数；
当x＜1时，f（x）＜0，f（x）为减函数；
ϕ（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，
ϕ（x）_min=ϕ（1）=0；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=g（x），可得e^2lnx=1-，
可得a=x-x³求h（x）=x-x³，在区间上求最值问题，
h′（x）=1-3x²，令h′（x）=0，可得x=，
当x＞时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
f（x）极大值=f（x）最大值=f（）=，
f（1）=0，f（）=，
∵方程e^2f（x）=g（x）在区间上有解，
∴0≤h（x）≤
∴0≤a≤；
（Ⅲ）数列{a_n}的通项公式为，
可得a_n=ln，
∵由（1）可知，ϕ（x）_min=ϕ（1）＞0，即lnx＞1-，
a_k＞1-=+•＞+•=+（），
S_n=＞n+（+…+-）=n+=，
即证；
点评：本题考查的知识点是导数在最大值，最小值问题中的应用，导数在证明函数单调性时的应用，函数恒成立问题，不等式与函数的综合应用，其中第一问的关键是利用导数法；第二问的关键是利用导数法，求出函数的最值，进而得到函数的值域，而第三问的关键是利用不等式证明的放缩法；