Question

已知抛物线C：y²=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（Ⅱ）若存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可知M的坐标和直线l的方程，把直线方程和抛物线方程联立消去y，设A，B两点坐标AB中点P的坐标，通过解一元二次方程求得A，B的坐标，则中点P的坐标可得，进而利用圆的定义求得以AB为直径的圆的方程．
（Ⅱ）设A，B两点坐标，则可表示出

AM

和

MB

，利用

MB

=λ

AM

求得λ与A，B坐标的关系式，把点A，B代入抛物线方程，联立求得λx₁=m．要使此直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，需要|OM|²=|MB|•|AM|，进而求得关于x₁的一元二次方程，进而根据两根之积为m²＞0，判断出只可能有两个正根，建立不等式组求得m的范围．

解答：（Ⅰ）解：由题意，得M（1，0），直线l的方程为y=x-1．
由

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P的坐标为P（x₀，y₀），
则x1=3+2

2

， x2=3-2

2

， y1=x1-1=2+2

2

， y2=x2-1=2-2

2

，
故点A(3+2

2

，2+2

2

)， B(3-2

2

，2-2

2

)， 
所以x0=

x1+x2

2

=3， y0=x0-1=2，
故圆心为P（3，2），直径|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=8，
所以以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16；
（Ⅱ）解：设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

MB

=λ

AM

(λ＞0)．
则

AM

=(m-x1，-y1)， 

MB

=(x2-m，y2)，
所以

x2-m=λ(m-x1) y2=-λy1

①
因为点A，B在抛物线C上，
所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，②
由①②消去x₂，y₁，y₂得λx₁=m．
若此直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，则|OM|²=|MB|•|AM|，
即|OM|²=λ|AM|•|AM|，所以m²=λ[（x₁-m）²+y₁²]，
因为y₁²=4x₁，λx₁=m，所以m2=

m

x1

[(x1-m)2+4

x

1

]，
整理得x₁²-（3m-4）x₁+m²=0，③
因为存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，
所以关于x₁的方程③有正根，
因为方程③的两根之积为m²＞0，所以只可能有两个正根，
所以

3m-4＞0 m2＞0 △=(3m-4)2-4m2≥0

，解得m≥4．
故当m≥4时，存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系．