Question

已知函数f（x）=2x²-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值，记作g（a）．
（1）当a=1时，求g（a）
（2）求g（a）的函数表达式 
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入f（x）可求得对称轴，借助图象可得g（1）；
（2）对称轴为x=

a

2

，按照对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，借助图象可得g（a）；
（3）由（2），按照a≤-2，-2＜a＜2，a≥2三种情况讨论分别求出函数相应的最大值，然后比较取其较大者即可；

解答：解：（1）∵a=1，∴f（x）=2x²-2x+3，
对称轴为x=

1

2

∈[-1，1]，
∴g（a）=

5

2

，
（2）对称轴为x=

a

2

，
①当

a

2

≤-1，即a≤-2时，g（a）=f（-1）=2a+5；
②当-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2时，g（a）=f（

a

2

）=-

a2

2

+3；
③当1≤

a

2

，即a≥2时，g（a）=f（1）=5-2a；
所以g（a）=

2a+5，a≤-2 - a2 2 +3，-2＜a＜2 -2a+5，a≥2

；
（3）当a≤-2时，g（a）_max=g（-2）=1；
当-2＜a＜2时，g（a）_max=3；
当a≥2时，g（a）_max=g（2）=1，
∴g（a）_max=3．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．