Question

（2012•保定一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且过点Q（1，

2

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线x+y-1=0上，且满足

OA

+

OB

=t

OP

 （O为坐标原点），求实数t的最小值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的焦距为2c，由e=

2

2

，设椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，由Q(1，

2

2

)在椭圆

x2

2c2

+

y2

c2

=1上，能求出椭圆方程．
（2）设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，知k∈[-

2

2

，

2

2

]，由此入手能够求出实数t的最小值．

解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，
∵e=

2

2

，∴a²=2c²，b²=c²，
设椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
∵Q(1，

2

2

)在椭圆

x2

2c2

+

y2

c2

=1上，
∴

1

2c2

+

1 2

c2

=1，解得c²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由题意知直线AB的斜率存在，
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，
k2≤

1

2

，
即k∈[-

2

2

，

2

2

]，
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
∵

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
当k=0时，t=0；
当t≠0时，
x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，
y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

，
∵点P在直线x+y-1=0上，
∴

8k2

t(1+2k2)

-

4k

t(1+2k2)

-1=0，
∴t=

8k2-4k

1+2k2

=4-

4(k+1)

1+2k2

．
∵k∈[-

2

2

，

2

2

]，
∴令h=

k+1

1+2k2

=

k+1

2(k+1)2-4(k+1)+3

=

1

2(k+1)+ 3 k+1 -4

≤

1

2 6 -4

．
当且仅当k=

6

2

-1时取等号．
故实数t的最小值为4-4h=2-

6

．

点评：本题考查椭圆与直线的位置关系的综合应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．