题目内容
已知椭圆E：
+
=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：x2+y2+
x-3y-6=0过A，F2两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β-α=
时，证明：点P在一定圆上．
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率kQB，kQC存在且不为0，求证：kQB•kQC为定植．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β-α=
| 2π |
| 3 |
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率kQB，kQC存在且不为0，求证：kQB•kQC为定植．
分析：（1）求出圆与x轴交点坐标，即可确定椭圆E的方程；
（2）确定tanβ、tanα，利用两角差的正切公式，化简可得结论；
（3）求出直线QB，QC的斜率，利用点在椭圆上，代入作差，即可求得结论．
（2）确定tanβ、tanα，利用两角差的正切公式，化简可得结论；
（3）求出直线QB，QC的斜率，利用点在椭圆上，代入作差，即可求得结论．
解答：（1）解：∵圆x2+y2+
x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-2
，0)，F2(
，0)，
∴a=2
，c=
，∴b=3，
∴椭圆方程是：
+
=1．…（4分）
（2）证明：设点P（x，y），因为F1（-
，0），F2（
，0），
所以kPF1=tanβ=
，kPF2=tanα=
，
因为β-α=
，所以tan（β-α）=-
．
因为tan（β-α）=
=
，所以
=-
，
化简得x2+y2-2y=3，所以点P在定圆x2+y2-2y=3上．…（10分）
（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）
∴kQB•kQC=
•
=
∵
+
=1，
+
=1
∴两式相减可得
+
=0
∴
=-
∴kQB•kQC=-
…（12分）
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴a=2
| 3 |
| 3 |
∴椭圆方程是：
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 9 |
（2）证明：设点P（x，y），因为F1（-
| 3 |
| 3 |
所以kPF1=tanβ=
| y | ||
x+
|
| y | ||
x-
|
因为β-α=
| 2π |
| 3 |
| 3 |
因为tan（β-α）=
| tanβ-tanα |
| 1+tanαtanβ |
-2
| ||
| x2+y2-3 |
-2
| ||
| x2+y2-3 |
| 3 |
化简得x2+y2-2y=3，所以点P在定圆x2+y2-2y=3上．…（10分）
（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）
∴kQB•kQC=
| n-y′ |
| m-x′ |
| -n-y′ |
| -m-x′ |
| n2-y′2 |
| m2-x′2 |
∵
| m2 |
| 12 |
| n2 |
| 9 |
| x′2 |
| 12 |
| y′2 |
| 9 |
∴两式相减可得
| m2-x′2 |
| 12 |
| n2-y′2 |
| 9 |
∴
| n2-y′2 |
| m2-x′2 |
| 3 |
| 4 |
∴kQB•kQC=-
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查两角差的正切公式，考查斜率的计算，属于中档题．
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