Question

【题目】如图所示，直三棱柱中， ， 为的中点， 为的中点.

（1）求证： 面；

（2）若面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）设与交于，连接，∵，则与平行且相等.∴四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以的中点为原点，分别以方向为轴和轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）设与交于，连接，

∵，则与平行且相等.

∴四边形为平行四边形.

∴，又面， 面，

∴面.

（2）以的中点为原点，分别以方向为轴和轴正方向，以方向为轴正方向，建系如图，设， ，则有

， ， ， ，

∴，∴，∴

由面，则.

则解得.

所以面的法向量为，

又设面的法向量为， ， ，

， ，所以，令，

则，

∴.

所以二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.