题目内容

已知数列{a_n}中， $数学公式$ ．
（Ⅰ）设 $数学公式$ ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=-3n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2
∵ $\text{[math]}$ ，∴b_n+1=4b_n+2，
∴ $\text{[math]}$ =4（ $\text{[math]}$ ）
∵a₁=1，∴ $\text{[math]}$
∴{ $\text{[math]}$ ）是首项为- $\text{[math]}$ ，公比为4的等比数列
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）c_n=-3n•b_n=n×4^n-1+2n
令T_n=1×4⁰+2×4+…+n×4^n-1①，则4T_n=4+2×4²+…+n×4ⁿ②
①-②可得-3T_n=1+4+…+4^n-1-n×4ⁿ= $\text{[math]}$ -n×4ⁿ
∴T_n= $\text{[math]}$
∴数列{c_n}的前n项和S_n= $\text{[math]}$ +n（n+1）．
分析：（Ⅰ）对数列递推式变形，构造新数列，可得{ $\text{[math]}$ ）是首项为- $\text{[math]}$ ，公比为4的等比数列，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列的通项，分组求和，分别利用错位相减法与等差数列的求和公式，即可求得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的求和，考查构造法的运用，正确运用数列的求和公式是关键．