Question

【题目】已知为椭圆的右焦点， 为上的任意一点.

（1）求的取值范围；

（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明: 两点的横坐标之和为常数.

Answer 1

【答案】(1) .(2)证明见解析.

【解析】试题分析：(1)法一:设的坐标为，利用两点之间的距离公式化简即可求得范围；法二：运用三角函数换元设点的坐标为利用两点之间距离公式计算出范围（2）法一：设直线斜率分别为，联立直线方程与曲线方程，利用根与系数之间关系，再由，计算得；法二：设直线的斜率分别为，计算得，由，得，即，证得的中点在上，同理可证的中点在上，即说明两点的横坐标之和为常数

解析：解法一：（1）依题意得，所，

所以的右焦点坐标为，

设上的任意一点的坐标为，

则，

所以

，

又因为，所以，

所以，

所以的取值范围为.

（2）设三点坐标分别为，

设直线斜率分别为，则直线方程为，

由方程组消去，得

，

由根与系数关系可得，

故，

同理可得，

又，

故 ，

则 ，

从而.

即两点的横坐标之和为常数.

解法二：（1）依题意得，所，

所以的右焦点坐标为，

设上的任意一点的坐标为，

设上的任意一点的坐标为，

则，

又因为，所以，

所以，

所以的取值范围为.

（2）设两点坐标分别为，线段的中点分别为，点的坐标为，直线的斜率分别为，

由方程组得，

所以，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以的中点在上，

同理可证： 的中点在上，

所以点为线段的中点.

根据椭圆的对称性，

所以两点的横坐标之和为常数.