Question

设函数f（x）=x（x-1）²，x＞0
（1）求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=lnx-2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且仅有一个，求实数m和t的值；
（3）设a＞0，试讨论方程

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=0的解的个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x（x-1）²，x＞0，知f′（x）=3x²-4x+1，由此能求出f（x）的极值．
（2）由g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立得

lnx-2x2+3x+t-m≤0① x(x-1)2-x-m≥0②

，由此能求出t．
（3）令∅（x）=

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=

1

2

x2-alnx，得到∅′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

．由此能推导出方程

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=0的解的个数．

解答：解：（1）∵f（x）=x（x-1）²，x＞0，
∴f′（x）=3x²-4x+1，
令f’（x）=0，得x=

1

3

，或x=1，
∴当x变化时f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由上表知当x=

1

3

时，f（x）取得极大值

4

27

，当x=1时，f（x）取得极小值0．
（2）由g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立得

lnx-2x2+3x+t-m≤0① x(x-1)2-x-m≥0②

对x∈（0，+∞）恒成立，
由②得m=-

32

27

，又由①得1+t-m=0，∴t=-

59

27

．
（3）令∅（x）=

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx
=

1

2

x2-alnx，
∴∅′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

．
∵当x→0时，∅（x）→+∝，
∴由当0＜a＜e时，∅（x）_min=∅（

a

）=

a

2

(1-lna)，此时原方程无解；
当a=e时，∅（x）_min=∅（

a

）=0，此时原方程有唯一解；
当a＞e时，∅（x）_min=∅（

a

）＜0，此时原方程，有两解．

点评：本题考查函数的极值的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查方程的解的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．