题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若 $数学公式$ ，求边c的值．

解：（1）由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得：
2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C），（4分）
又B+C=π-A，
所以有2sinAcosA=sin（π-A），即2sinAcosA=sinA．
而sinA≠0，所以 $\text{[math]}$ ；…（6分）
（2）由 $\text{[math]}$ 及0＜A＜π，可得：A= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
可得： $\text{[math]}$ ，…（8分）
由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，…（10分）
若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
在直角△ABC中， $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ；
若 $\text{[math]}$ ，在直角△ABC中， $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，并根据sinA的值不为0，即可求出cosA的值；
（2）由第一问求出的cosA的值及A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得出B+C的度数，用B表示出C，代入已知的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B+ $\text{[math]}$ ）的值，由A的度数求出B+ $\text{[math]}$ 的范围，利用特殊角的三角函数值得出B的度数，根据锐角三角函数定义即可求出c的值．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，诱导公式，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．