Question

（1）已知x＞0，y＞0，且+=1，求x+y的最小值；
（2）已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值；
（3）若x，y∈（0，+∞）且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值；
（4）若-4＜x＜1，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用+=1与x+y相乘，展开利用均值不等式求解即可．
（2）由x＜，可得4x-5＜0，首先应调整符号，再变形处理，即配凑积为定值．
（3）由2x+8y-xy=0变形可得+=1，与x+y相乘，展开利用均值不等式求解即可．
（4）先利用配方法和拆项法将原式变形，=•=，再调整符号，利用均值不等式求解．
解答：解：（1）∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=++10≥6+10=16．
当且仅当=时，上式等号成立，又+=1，∴x=4，y=12时，（x+y）_min=16．
（2）∵x＜，∴5-4x＞0，∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1，
当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y_max=1．
（3）由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，∴+=1，
∴x+y=（x+y）=10++
=10+2≥10+2×2×=18，
当且仅当=，即x=2y时取等号，
又2x+8y-xy=0，∴x=12，y=6，
∴当x=12，y=6时，x+y取最小值18．
（4）=•=
=-
∵-4＜x＜1，∴-（x-1）＞0，＞0．
从而≥2
-≤-1
当且仅当-（x-1）=，
即x=2（舍）或x=0时取等号．
即=-1．
点评：利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．