Question

解关于x的不等式（ax-1）（x-2）＞0，a∈R．

Answer 1

分析：分四种情况考虑：（a）当a=0时，将a=0代入原不等式求出解集即为原不等式的解集；（b）当a小于0时，在原不等式左右两边同时除以a，不等号方向改变，根据不等式取解集的方法表示出此时不等式的解集即可；（c）当a大于0小于等于

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时，在不等式左右两边同时除以a，不等号方向不变，且得到

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a

大于2，根据不等式取解集的方法得出原不等式的解集；（d）当a大于

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2

时，在不等式左右两边同时除以a，不等号方向不变，且得到

1

a

小于2，根据不等式取解集的方法得出原不等式的解集，综上，得到原不等式在a取值不同情况下的解集．

解答：解：（a）当a=0时，原不等式化为：-x+2＞0，
解得：x＜2，
∴不等式的解集是{x|x＜2}；…（3分）
（b）当a＜0时，原不等式化为：（x-

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a

）（x-2）＜0，
解得：

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a

＜x＜2，
∴不等式的解集是{x|

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a

＜x＜2}；…（6分）
（c）当0＜a≤

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时，原不等式化为：（x-

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a

）（x-2）＞0，且

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a

＞2，
解得：x＞

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a

或x＜2，
∴不等式的解集是{x|x＞

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a

或x＜2}；…（9分）
（d）当a＞

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2

时，原不等式化为：（x-

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a

）（x-2）＞0，且

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a

＜2，
解得：x＜

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a

或x＞2，
∴不等式的解集是{x|x＜

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a

或x＞2}．…（12分）

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．