Question

如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,且.
 
(1)求证://侧面;
(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值;

Answer 1

(1)详见解析；(2).

试题分析：解法1：（1）延长交于点,根据，,利用相似三角形的比例关系，即可证得直线与直线平行，再运用线面平行的判定定理，即可证得结论；
解法2：（1）建立空间直角坐标系，求出侧面的法向量和向量，判断法向量和向量
垂直，即可证得结论；
（2）求出两个半平面的法向量，利用向量的数量积，求出法向量的夹角的余弦值，再利用法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，即可求得答案；
试题解析：解法1:(1)延长B₁E交BC于点F,
∽△FEB,BE=EC₁,∴BF=B₁C₁=BC,
从而点F为BC的中点.
∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,
又GE侧面AA₁B₁B,∴GE//侧面AA₁B₁B.    5分
(2)∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC,侧棱AA₁与底面ABC成60°的角,∴∠A₁AB=60°,
又AA₁=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.
以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

则,,,,,.
∵G为△ABC的重心,∴.,∴,
∴.又GE侧面AA₁B₁B,∴GE//侧面AA₁B₁B.    6分
(2)设平面B₁GE的法向量为,则由得
可取又底面ABC的一个法向量为
设平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.
故平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.    12分