题目内容
已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率为
，椭圆短轴长为
．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-
，求斜率k的值；②若点M（-
，0），求证：
为定值．
【答案】分析：（Ⅰ）由
=
，2b=
及a2=b2+c2联立即可解得a2，b2值；
（Ⅱ）（1）将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理得
，再由AB中点的横坐标为-
，可得关于k的方程，解出即可；
（2）利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得
为定值．
解答：解：（Ⅰ）因为
（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，
由
=
②，2b=
③．联立①②③，
解得a2=5，
，
所以椭圆方程为
=1．
（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入
=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，
，
因为AB中点的横坐标为-
，所以-
=-
，解得k=±
，
（2）由（1）知
，
，
所以
=（x1+
，y1）（
，y2）=（
）（
）+y1y2
=（
）（
）+k2（x1+1）（x2+1）
=（1+k2）x1x2+（
+k2）（x1+x2）+
+k2
=（1+k2）
+（
）（-
）+
+k2=
；
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及向量的数量积运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．
=，2b=及a2=b2+c2联立即可解得a2，b2值；（Ⅱ）（1）将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理得
，再由AB中点的横坐标为-，可得关于k的方程，解出即可；（2）利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得
为定值．解答：解：（Ⅰ）因为
（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，由
=②，2b=③．联立①②③，解得a2=5，
，所以椭圆方程为
=1．（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入
=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，
，因为AB中点的横坐标为-
，所以-=-，解得k=±，（2）由（1）知
，，所以
=（x1+，y1）（，y2）=（）（）+y1y2=（
）（）+k2（x1+1）（x2+1）=（1+k2）x1x2+（
+k2）（x1+x2）++k2=（1+k2）
+（）（-）++k2=；点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及向量的数量积运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．
练习册系列答案
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（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率为
．
（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点
．
，求点Q的轨迹方程．
（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为
，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.
时，求k的值.
+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(
，0)求实数k的取值范围。
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若
。则
（ ） 
（D）