Question

棱长为1的正四面体中，连接四个面的中心，得到一个正四面体，再连接此正四面体的中心，又得到一个正四面体，如此操作下去，则包括原正四面体在内的所有依次得到正四面体的体积组成等比数列，则公比是（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  27

• C．

  1

  2

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：由于原正四面体的棱长为1，由此可得BD=1，由中位线定理可知：GH=

1

2

BD=

1

2

，又由重心定理可知：EF=

2

3

GH=

1

3

，可得四面体与原四面体的相似比为

1

3

，由此可得体积比．

解答：解：如图，设G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别是三角形ABC，ACD的重心，BD=1，
由中位线定理可知：GH=

1

2

BD=

1

2

，又由重心定理可知：EF=

2

3

GH=

1

3

，
由于所作四面体与原四面体相似，相似比为

1 3

1

=

1

3

，即棱长是原来的正四面体的棱长的

1

3

，
故所作四面体与原四面体的相似比为

1

3

，故体积比为

1

27

，
故选B．

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，棱锥的体积等基本知识，等比数列的定义，同时考查空间想象能力和推理、运算能力，属于中档题．