Question

设函数在上的最大值为（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对任何正整数n (n≥2)，都有成立；
（3）设数列的前n项和为S_n，求证：对任意正整数n，都有成立．

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求得，令，得或，因为要考虑根与定义域的位置关系，故需讨论n的取值．当时，，此时，函数单调递减；当时，，将定义域分段，并考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图象，进而求最大值，从而求得；（2）由（1）得，将所求证不等式等价变形为，，再利用二项式定理证明；（3）由（2）得，，再将不等式放缩为可求和的数列问题处理．
（1）
，
当时，由知或，         
当时，则，时，，在上单调递减，
所以
当时，，时，，时，，
∴在处取得最大值，即，
综上所述，.
（2）当时，要证，只需证明
∵

∴,所以，当时，都有成立．
（3）当时，结论显然成立；
当时，由（II）知


．
所以，对任意正整数，都有成立．                    13分