Question

（1）已知f(x)=

2

3x-1

+m是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数y=|3^x-1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3X-1|=k无解？有一解？有两解？

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，再利用奇函数的定义，代入一对相反变量即可直接求常数m的值；
（2）先取绝对值画出对应图象，再利用函数的零点即为对应两个函数图象的交点把y=k在图象上进行来回平移看交点个数即可找到结论．

解答：解：（1）因为3^x-1≠0?x≠0．故函数定义域为{x|x≠0}．
因为函数为奇函数，故有f（-1）=-f（1）?

2

3-1-1

+m=-(

2

31-1

+m)?m=1．
所以所求常数m的值为1；
（2）因为函数的零点即为对应两个函数图象的交点．所以把研究零点个数问题转化为研究图象交点个数．
当k＜0时，直线y=k与函数y=|3^x-1|的图象无交点，即方程无解；
当k=0或k≥1时，直线y=k与函数y=|3^x-1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0＜k＜1时，直线y=k与函数y=|3^x-1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．

点评：本题第一问主要考查函数的奇偶性，第二问主要研究函数的图象，都是考查基础知识，综合在一起属于中档题目．