Question

已知f(x)=

px2+2

3x+q

是奇函数，且f(2)=

5

3

，
（1）求实数p和q的值．
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由及函数的定义f（-x）=-f（x）恒成立，可得p和q的一个关系式，由f(2)=

5

3

再得p和q的一个关系式，联立解方程组即可求出实数p和q的值；
（2）可直接利用导数进行判断．先求导，令f′（x）＞0即得f（x）的增区间，令f′（x）＜0即得f（x）的减区间．

解答：解；（1）f(x)=

px2+2

3x+q

是奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，
即f(-x)=

px2+2

-3x+q

=-

px2+2

3x+q

=

px2+2

-3x-q

，所以q=0，又f(2)=

5

3

，可得p=2，
所以p=2，q=0
（2）由（1）知f(x)=

2x2+2

3x

= 

2

3

x+

2

3x

，f′(x)=

2

3

-

2

3x2

令f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，令f′（x）＜0得-1＜x＜1，因为x≠0，
所以f（x）的增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
减区间为（-1，0），（0，1）

点评：本题考查函数的单调性的判断和就行的应用，属基本题型的考查．