Question

已知曲线C：y=2x³-3x²-2x+1，点P(

1

2

，0)，求过P点的切线l与曲线C所围成的图形的面积．

Answer 1

分析：由于切线过点P，故先设切点求切线方程，再与曲线C联立，可求交点坐标，从而利用定积分求曲线围成的图形面积．

解答：解：由y=2x³-3x²-2x+1得：y'=6x²-6x-2
设切点为Q（x₀，y₀），则y₀=2x₀³-3x₀²-2x₀+1
于是 切线l为：y-（2x₀³-3x₀²-2x₀+1）=（6x₀²-6x₀-2）（x-x₀）…（3分）
又 切线过点P(

1

2

，0)
∴0-(2

x

3 0

-3

x

2 0

-2x0+1)=(6

x

2 0

-6x0-2)(

1

2

-x0)
化简得：x₀（4x₀²-6x₀+3）=0解得：x₀=0，y₀=1即切点Q（0，1）
∴切线l为：2x+y-1=0
联立

y=2x3-3x2-2x+1 2x+y-1=0

，解得：

x= 3 2 y=-2

或 

x=0 y=1

∴另一交点为H(

3

2

，-2)
∴S=

∫

3 2 0

[(1-2x)-(2x3-3x2-2x+1)]dx=

∫

3 2 0

(3x2-2x3)dx=(x3-

1

2

x4)|

3 2 0

=

27

32

点评：本题以曲线为载体，考查曲线的切线方程，考查利用定积分求曲线围成的图形面积，解题的关键是区分在点处与过点的切线方程的求解．