Question

已知曲线C：y=x³-3x²+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），求直线l的方程及切点坐标．

Answer 1

分析：切点（x₀，y₀）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率．联立方程组解之即可．

解答：解：∵直线过原点，则k=

y0

x0

（x₀≠1）．
由点（x₀，y₀）在曲线C上，则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴

y0

x0

=x₀²-3x₀+2．
又y′=3x²-6x+2，
∴在（x₀，y₀）处曲线C的切线斜率应为k=f′（x₀）=3x₀²-6x₀+2．
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2．
整理得2x₀²-3x₀=0．
解得x₀=

3

2

（∵x₀≠0）．
这时，y₀=-

3

8

，k=-

1

4

．
因此，直线l的方程为y=-

1

4

x，切点坐标是（

3

2

，-

3

8

）．

点评：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识．