Question

设P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标.

Answer 1

思路分析：由于P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一动点，因此四边形OAPB的形状不定，则不能用特殊四边形的面积公式来求其最值，只能考虑把四边形分解为几个三角形，利用三角形的知识来求其面积的最大值.

解：∵点P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点,

∴设P(6cosθ,2sinθ),θ∈(0,)(图略).

法一:直线AB方程为=1,即x+3y-6=0.欲使S_OAPB最大,只需P到AB的距离最大.

∵d_P-AB=θ∈(0,),

∴sin(θ+)＞0.∴当θ=时,d_max=.

∴(S_△APB)_max==6(-1).

∴(S_OAPB)_max=·6·2+6(-1)=.

法二:S_OAPB=S_△POA+S_△POB=·2·6cosθ+·6·2sinθ

=6(sinθ+cosθ)=sin(θ+),θ∈(0,),

∴当θ=时,(S_OAPB)_max=,此时点P的坐标为(,2).

    拓展延伸 分析本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求S_△POA+S_△POB，S_OAPB的最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求S_OAPB的最大值.