Question

已知函数f（x）=ax³-12x，f（x）的导函数f'（x）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若f'（1）=-6，求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）f'（x）=3ax²-12=3（ax²-4）．当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，+∞）单调递减； 当a＞0时借助于极值点确定寒素的单调区间．
（II）由f'（1）=3a-12=-6，得a=2，确定出f（x）和f′（x）的解析式，然后令f′（x）=0求出x的值，在区间[1，a]上利用x的值讨论函数的增减性得到函数的最值．

解答：解：（I）f'（x）=3ax²-12=3（ax²-4）．
当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，+∞）单调递减； …（3分）
当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：

x	(-∞，- 2 a )	- 2 a	(- 2 a ， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

此时，f(x)在(-∞，-

2

a

)，(

2

a

，+∞)单调递增，
在(-

2

a

，

2

a

)单调递减；  …（6分）
（II）由f'（1）=3a-12=-6，得a=2．…（8分）
由（I）知，f(x)在(-1，

2

)单调递减，在(

2

，3)单调递增．
因f(-1)=10，f(

2

)=-8

2

，f(3)=18，…（10分）
故f（x）在[-1，3]上的最大值为18，最小值为-8

2

．…（12分）

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．