Question

以知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1，x∈R⁺），若x₁，x₂∈R⁺，判断

1

2

[f(x1)+f(x2)]与f(

x1+x2

2

)的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：把f（x）的解析式代入f（x₁）+f（x₂）中，进而根据x₁x₂≤(

x1+x2

2

)2，根据对数函数的性质，当a＞1时判断出

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≤f(

x1+x2

2

)，当0＜a＜1

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，综合可得答案．

解答：解：f（x₁）+f（x₂）=log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）
∵x₁，x₂∈R⁺，
∴x₁x₂≤(

x1+x2

2

)2（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）．当a＞1时，有log_a（x₁x₂）≤log_a(

x1+x2

2

)2
∴

1

2

log_a（x₁x₂）≤log_a(

x1+x2

2

) ，

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）≤log_a(

x1+x2

2

)，
即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≤f(

x1+x2

2

)（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）当0＜a＜1时，有log_a（x₁x₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，
∴

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，
即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f(

x1+x2

2

)
（当且仅当x₁=x₂时取“=”号）．

点评：本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力．