题目内容
（2012•泉州模拟）（1）选修4-2：矩阵与变换
若二阶矩阵M满足M
=
．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-
)=2
．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
•
=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：
+
+
≥2．
若二阶矩阵M满足M
|
|
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
|
| π |
| 4 |
| 2 |
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
| OA |
| OB |
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：
| n4 |
| a2 |
| p4 |
| b2 |
| q4 |
| c2 |
分析：（1）（Ⅰ）记矩阵A=
，可得|A|=-2，A-1，再根据M=
A-1运算求得结果．
（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为
=
，可得
，代入曲线方程3x2+8xy+6y2=1，
化简可得x'2+2y'2=1．由可求得曲线的方程．
（2）（Ⅰ）由于t≠0，可将曲线C的方程化为普通方程：
+y2=4，分t=±1和t≠±1时，分别讨论曲线
的形状．
（Ⅱ）求出直线l的普通方程，与曲线的方程联立方程组，由判别式大于零解得t2＞3，利用韦达定理求出
x1+x2=-
，x1x2=
，代入
•
=10 求得t2=3，出现矛盾，从而得出结论．
（3）（Ⅰ）利用绝对值的几何意义可得 f（x）的最小值等于2，再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，从而得到m的值等于2．
（Ⅱ）把不等式左边化为[(
)2+(
)2+(
)2] 乘以（a2+b2+c2），再利用基本不等式证得结论．
|
|
（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为
|
|
|
|
化简可得x'2+2y'2=1．由可求得曲线的方程．
（2）（Ⅰ）由于t≠0，可将曲线C的方程化为普通方程：
| x2 |
| t2 |
的形状．
（Ⅱ）求出直线l的普通方程，与曲线的方程联立方程组，由判别式大于零解得t2＞3，利用韦达定理求出
x1+x2=-
| 8t2 |
| 1+t2 |
| 12t2 |
| 1+t2 |
| OA |
| OB |
（3）（Ⅰ）利用绝对值的几何意义可得 f（x）的最小值等于2，再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，从而得到m的值等于2．
（Ⅱ）把不等式左边化为[(
| n2 |
| a |
| p2 |
| b |
| q2 |
| c |
解答：（1）解：（Ⅰ）记矩阵A=
，故|A|=-2，故A-1=
．…（2分）
由已知得M=
A-1=
=
．…（3分）
（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为
=
，得
，
解得
，…（5分）
又3x2+8xy+6y2=1，故有3（-x'+2y'）2+8（-x'+2y'）（x'-y'）+6（x'-y'）2=1，
化简得x'2+2y'2=1． 故所得曲线的方程为x2+2y2=1．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：
+y2=4．…（1分）
①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（2分）
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（3分）
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（4分）
联立直线与曲线的方程，消y得
+(x+4)2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3．…（5分）
又x1+x2=-
，x1x2=
，…（6分）
故
•
=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．
解得t2=3与t2＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，…（2分）当且仅当2≤x≤4时，等号成立．
再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，可得m=2．…（3分）
（Ⅱ）[(
)2+(
)2+(
)2]•(a2+b2+c2)≥(
•a+
•b+
•c)2，…（5分）
即：(
+
+
)×2≥（n2+p2+q2）2=4，
故
+
+
≥2．…（7分）
|
|
由已知得M=
|
|
|
|
（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为
|
|
|
|
解得
|
又3x2+8xy+6y2=1，故有3（-x'+2y'）2+8（-x'+2y'）（x'-y'）+6（x'-y'）2=1，
化简得x'2+2y'2=1． 故所得曲线的方程为x2+2y2=1．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：
| x2 |
| t2 |
①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（2分）
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（3分）
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（4分）
联立直线与曲线的方程，消y得
| x2 |
| t2 |
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3．…（5分）
又x1+x2=-
| 8t2 |
| 1+t2 |
| 12t2 |
| 1+t2 |
故
| OA |
| OB |
解得t2=3与t2＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，…（2分）当且仅当2≤x≤4时，等号成立．
再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，可得m=2．…（3分）
（Ⅱ）[(
| n2 |
| a |
| p2 |
| b |
| q2 |
| c |
| n2 |
| a |
| p2 |
| b |
| q2 |
| c |
即：(
| n4 |
| a2 |
| p4 |
| b2 |
| q4 |
| c2 |
故
| n4 |
| a2 |
| p4 |
| b2 |
| q4 |
| c2 |
点评：本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识．曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识．绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，及函数与方程思想，属于中档题．
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