Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若x₁，x₂∈（0，+∞），且，求证：f（x₁）•f（x₂）≥1．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据当x∈R时x≤f（x）恒成立． 令x=1，即可求得；
（2）根据f（1）=1，f（-1）=0，可得方程组，利用 x∈R时，f（x）≥x恒成立，可得，借助于基本不等式可得∴．从而可求函数的解析式；
（3））利用条件，x₁，x₂∈（0，+∞），借助于基本不等式，可得（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=3x₁x₂+1≥4．从而得解．
解答：解：（1）∵x≤f（x）
∴当x=1时．1≤f（1）．
∴f（1）=1．
（2）由（1）知a+b+c=1，又f（-1）=0，∴a-b+c=0
从而，又x∈R时，f（x）≥x恒成立．
即ax²+（b-1）x+c≥0，故
∴
∴c＞0    而
∴
∴
∴a=c=．∴．
（3）∵，x₁，x₂∈（0，+∞），
∴x₁+x₂=2x₁x₂
∴ （当且仅当x₁=x₂=1时取等号）
∴
∴x₁x₂≥1．
又（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=3x₁x₂+1≥4．
∴f（x₁）•f（x₂）= （当且仅当x₁=x₂=1时取等号）
点评：本题以二次函数为载体，考查赋值法，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，关键是利用基本不等式求解．