Question

已知函数f（x）=log₂

1+x

1-x

（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）画出t=

1+x

1-x

，x∈（-1，1）的大致图象，并讨论f（x）的单调性（不须证明）．

Answer 1

分析：（1）由 

1+x

1-x

＞0 及1+x＞0，求得得x的范围，可得f（x）的定义域．
（2）因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=log₂

1-x

1+x

=-f（x），可得f（x）是定义域上的奇函数．
（3）由于函数t=

1+x

1-x

=1-

2

x-1

 在（-1，1）上是增函数，图象如图所示，又y=log₂t 为增函数，
可得f（x）在定义域（-1，1）上的单调性．

解答：解：（1）由 

1+x

1-x

＞0 及1+x＞0得：-1＜x＜1，
所以，f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}．　（ 4分）
（2）因为，f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log₂

1-x

1+x

=log₂(

1+x

1-x

)-1
=-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
所以，f（x）是定义域上的奇函数． （  8分）
（3）由于函数t=

1+x

1-x

=1-

2

x-1

 在（-1，1）上是增函数，
图象如图所示：（10分）
又y=log₂t 为增函数，所以，f（x）在定义域（-1，1）上是增函数．（  12分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，对数函数的图象、性质应用，属于中档题．