Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）在区间（-∞，-

a

）上是增函数；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，2]上的最小值为5，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数令f′（x）=1-

a

x2

＞0可得x＞

a

，或x＜-

a

，可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数在区间（0，

a

）单调递减，在（

a

，+∞）单调递增，分类讨论（1）

a

≤1，（2）1＜

a

＜2，（3）

a

≥2，分别可得最小值，可得关于a的方程，结合a的范围，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）可得x≠0，求导数可得f′（x）=1-

a

x2

，
由f′（x）=1-

a

x2

＞0可得x＞

a

，或x＜-

a

同理由f′（x）＜0可得-

a

＜x＜

a

，
故函数在区间（-∞，-

a

）上是增函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数在区间（0，

a

）单调递减，
在（

a

，+∞）单调递增，
（1）当

a

≤1时，函数在区间[1，2]上单调递增，
故在x=1处取最小值，即1+a=5，解得a=4，舍去；
（2）当1＜

a

＜2时，函数在区间（1，

a

）单调递减，
在（

a

，2）单调递增，故在x=

a

处取最小值，
可得

a

+

a

a

=5，解之可得a=

25

4

∉（1，4），应舍去；
（3）当

a

≥2时，函数在区间[1，2]上单调递间，
故在x=2处取最小值，即2+

a

2

=5，解得a=6，符合题意
综上可得a=6

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及分类讨论的思想，属中档题．