Question

已知a，b∈R，函数f(x)＝a＋ln(x＋1)的图象与g(x)＝x³－x²＋bx的图象在交点(0,0)处有公共切线．

(1)证明：不等式f(x)≤g(x)对一切x∈(－1，＋∞)恒成立；

(2)设－1＜x₁＜x₂，当x∈(x₁，x₂)时，证明：.

Answer 1

证明：　(1)由题意得f′(x)＝，g′(x)＝x²－x＋b，x＞－1，

则

∴f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)，g(x)＝x³－x²＋x.

令h(x)＝f(x)－g(x)

＝ln(x＋1)－x³＋x²－x(x＞－1)，

∴h′(x)＝－x²＋x－1＝－，

∴h(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，

∴h(x)≤h(0)＝0，∴f(x)≤g(x)．

(2)当x∈(x₁，x₂)时，由题意得－1＜x₁＜x＜x₂，

①设u(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x₁)]－(x－x₁)，

则u′(x)＝ln(x＋1)－ln(x₁＋1)＞0，

∴u(x)＞u(x₁)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x₁)]－(x－x₁)＞0，

∴>；

②设v(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x₂)]－(x－x₂)，

则v′(x)＝ln(x＋1)－ln(x₂＋1)＜0，

∴v(x)＞v(x₂)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x₂)]－(x－x₂)＞0，

∴＜，

由①②得＞.