Question

已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为“一阶比增函数”.
(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；
(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”，求证：，；
（Ⅲ）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)本小题关键是先得到，
（Ⅲ）本小题要结合(Ⅱ)的结论来证明。

试题分析：解：（I）由题在是增函数，
由一次函数性质知
当时，在上是增函数，
所以 
（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，
又，有，
所以，                 
所以，
所以   
所以                              
（Ⅲ）设，其中.
因为是“一阶比增函数”，所以当时，
取，满足，记
由（Ⅱ）知，同理，
所以一定存在，使得，
所以一定有解                             
点评：证明函数在区间上为增（减）函数的方法是：令，若
（），则函数为增（减）函数。