Question

圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?

Answer 1

解:设圆柱的高为h,底面半径为r,则表面积S=2πrh+2πr².

由V=πr²h,得h=

则S(r)=2πr+2πr²=+2πr².

令S′(r)=-+4πr=0,

解得,

从而,

即h=2r.

因为S(r)只有一个极值,所以它也是最小值.

即当罐的高与底直径相等时,所用材料最省.

绿色通道:在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使f′(x)=0,如函数在该点有极值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最值，这个原则也适用于开区间或无穷区间.